Géométrie du plan

Géométrie du plan

I De la géométrie aux groupes

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes

I-1 Géométrie et géométrie

Géométrie du planI De la géométrie aux groupes → I-1 Géométrie et géométrie
  • La géométrie des triangles, de droites, des figures : Les grecs calculent avec la géométrie (construire le nombre dont le carré est 5, trouver le pgcd de deux nombres).
      Euclide : Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au carré du segment restant.
     
    Solution
    Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au carré du segment restant.
    Voir la construction

    On prend un segment AB.


    {proof}
    AF 2+EG×GH = FG 2=FB 2
    Or FB 2=FA 2+AB 2 :
    donc EG×GH=AB 2
    et EG×GH=AB 2

    {proof}
      Descartes : Soit AB l'unité et qu'il faille multiplier BD par BC, je n'ai qu'à joindre les points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cette multiplication.
    Ou s'il faut tirer la racine carrée de GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui est l'unité, et en divisant FH en deux parties égales au point K, du centre K, je tire le cercle FIH, puis élevant du point G une ligne droite jusques à I à angles droits sur GH; c'est GI la racine cherchées
     
    Solution
    Construire la racine carrée d'un nombre représenté par un segment.

    voir la construction

    Voici le segment de longueur x. Ou s'il faut tirer la racine carrée de GH,


  • La géométrie analytique ou cartésienne : on repère un point par ses coordonnées (x,y). Une droite a une équation ax+by+c=0, on donne des expressions analytiques pour les transformations.

    Exemple

    Trouver anaytiquement le point d'intersection de la droite passant par A(1,2) et B(0,1) et de la droite d'équation y=2x+1.
     
  • La géométrie devient algèbre : on s'intéresse aux structures, aux transformations plutôt qu'aux objets et à leurs propriétés.
    Ainsi les dessins sont les mêmes du point de vue de leur groupe de symétrie.

I-2 Groupes : Introduction

I-2-1 Exemples de groupes

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-1 Exemples de groupes

Commençons par des exemples arithmétiques ou numériques : relatifs, réels ou rationnels :
I-2-1-1 Les nombres Soit K= l'ensemble des nombres relatifs ou K= l'ensemble des nombres rationnels ou K= l'ensemble des nombres réels. Pour tous éléments x, y, z de K
  1. x+yK ;
  2. (x+y)+z=x+(y+z) ;
  3. 0+x=x+0=x ;
  4. il existe un élément xK tel que x+x=x+x=0.
I-2-1-2 Les racines de l'unité Soit n un entier 1. Soit μ n l'ensemble des nombres complexes
z k=e 2ikπ/n=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)
pour k. C'est aussi l'ensemble des nombres complexes z vérifiant z n=1. Il vérifie pour z dans μ n et k et j entiers
  1. z k×z j=z k+j ;
  2. (z k×z j)×z r=z k×(z j×z r) ;
  3. 1×z k=z k×1=z k ;
  4. z k×z k=1.
Autrement dit, pour tous éléments z, z, z de μ n
  1. z×zμ n ;
  2. (z×z)×z=z×(z×z) ;
  3. 1×z=z ;
  4. il existe un élément tμ n tel que z×t=t×z=1.

Exercice

Dessiner μ 4, μ 5, μ 6, μ 7 ... Pour μ 7, prendre z 2=e 4iπ/7 et repérer successivement les produits z×z 2 pour zμ 7 : z=z 0, z=z 1, z=z 2, ...


n=5

Exercice

Racines de l'unité et puissances
Sous-groupe de racines de l'unité
Sous-groupe de racines de l'unité II
Sous-groupe de racines de l'unité III

 

Des manipulations sur trois boules permettent aussi de trouver un groupe :
I-2-1-3 Permutations
(Lire la BD de Stewart : Ah les beaux groupes - les chroniques de Rose Polymath (Belin))
On a trois boules alignées. On peut ne pas changer leur ordre. C'est l'opération identité S 0. On peut changer leur ordre en échangant les deux premières (opération S 1 ), en faisant tourner les trois dernières (opération S 2) et en effectuant ces opérations successivement. Donner le résultat comme un tableau : si une opération nouvelle apparaît, lui donner un nom ( S 3, ...) et la rajouter.  

 
  S 0   S 1   S 2   S 3   S 4   S 5   S 6   ...   
S 0                  
S 1                  
S 2                  
S 3                  
S 4                  
S 5                  
S 6                  
...                   
                  
On appelle ces opérations des permutations de l'ensemble des trois boules.
On note (1 2 3 a b c) la permutation qui transforme 1, 2, 3 en a, b, c. Par exemple, (1 2 3 2 3 1) est la permutation qui transforme 1, 2, 3 en 2, 3, 1.

Exercice

Permutations I
Permutations II
Permutations III

Enfin, voici un exemple de groupe formé d'applications.
I-2-1-4 Applications Soient les applications suivantes définies sur :
f 1:zz   f 4:z   f 7:z
f 2:z1/z   f 5:z   f 8:z
f 3:z1/(z+1)   f 6:z   f 9:z

On peut composer ces applications ; donner le résultat comme un tableau : si une application nouvelle apparaît, lui donner un nom et la rajouter.

 
  f 1   f 2   f 3   f 4   f 5   f 6   f 7
f 1               
f 2               
f 3               
f 4               
f 5               
f 6               
f 7               
Pouvez-vous vous arrêter ?

I-2-2 Groupes : définition

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-2 Groupes : définition

Définition

On se donne G un ensemble et une application G×G dans G qu'on va noter * ( on parle de loi, d'opération): (x,y)x*y vérifiant pour tous éléments x, y, z de G
  • loi interne
    x*yG
  • associativité
    (x*y)*z=x*(y*z) ;
  • élément neutre
    il existe un élément e tel que e*z=z*e=z ;
  • inverse
    il existe un élément tG tel que x*t=t*x=e.

L'ensemble G muni de la loi * est appelé un groupe.

Définition

Un groupe G est dit commutatif si pour tous éléments x, y de G
x*y=y*x.

Si G a un nombre fini d'éléments, on représente la loi sous la forme d'un tableau.

Exercice

Prenons G={pair,impair}. Remplissez les deux tableaux selon les règles d'addition et de multiplication. Sont-ils la table d'un groupe ? Si oui, quel est l'élément neutre ?

 pair   impair
pair     
impair     

times 
 pair   impair
pair     
impair     

Exercice

Prenons G={1,1}×{1,1} :
G={(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)}.
On définit (x,y)*(x,y)=(xx,yy). Compléter le tableau en appelant x 1=(1,1), x 2=(1,1), x 3=(1,1), x 4=(1,1).

 
  x 1   x 2   x 3   x 4
x 1         
x 2         
x 3         
x 4         
Est-il commutatif ?

I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2
Une matrice carrée de taille n est un tableau à n lignes et n colonnes. Nous allons regarder le cas où n=2. Une matrice carrée A de taille 2 s'écrit alors
(a b c d)
a, b, c et d sont les coefficients.
On définit des opérations sur l'ensemble M 2() des matrices d'ordre 2 à coefficients réels :
Addition :
(a b c d)+(a b c d)=(a+a b+b c+c d+d).

Exercice

Démontrer que M 2() muni de cette opération est un groupe commutatif.

 
Multiplication :
(a b c d)×(a b c d)=(aa+bc ab+bd ca+dc cb+dd).

Exercice

Effectuer le produit
(2 3 1 0)(1 1 1 1).

 

Exercice

Produit de matrices Inverse de matrices Équation de matrices

Exercice

Lesquelles des propriétés de groupe sont vérifiées pour l'opération multiplication ? Que faut-il rajouter comme condition pour avoir une opération de groupe ?

 

I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

Définition

On appelle isométrie une application du plan (ou de l'espace) conservant les distances :
f(B)f(A)=BA.
pour tous points A et B.
On note Is=Is( 2) l'ensemble des isométries du plan.
Quelques exemples dans le plan :
  • l'identité ;
  • les rotations ;
  • les réflexions par rapport à une droite ;
  • les symétries centrales par rapport à un point.
Nous verrons qu'il y en a d'autres (par exemple, les translations, les symétries glissées) et nous les trouverons toutes. Celles qu'on vient d'énumérer ont la propriété de laisser fixe un point du plan.

Exercice [Le rectangle]

Chercher les isométries du type précédent qui conservent un rectangle (quelconque, c'est-à-dire qui n'est pas un carré).

rectangle

 
Suite
Soit G le centre de gravité du rectangle, c'est-à-dire l'intersection des diagonales. On trouve
  1. l'identité
  2. les réflexions par rapport à chacune des médiatrices des côtés D 1, D 2 ;

On peut composer ces transformations. En obtient-on d'autres ?

 
  id   s G   s D 1   s D 2
id         
s G         
s D 1         
s D 2         
Le groupe est-il commutatif ? Comment chacune des ces transformations permutent-elles les sommets A, B, C, D ?

 
 A  B  C  D

id 
       
s G        
s D 1        
s D 2        

On a ainsi défini une application du groupe de symétrie du rectangle dans le groupe des permutations des quatre sommets A, B, C et D.

Exercice [Le triangle équilatéral]

Chercher les isométries du type précédent qui conservent un triangle équilatéral.

triangle equilateral


Suite
Soit G le centre de gravité du triangle. Il doit être fixe (pourquoi ?). On trouve
  1. l'identité
  2. les réflexions par rapport à chacune des médiatrices Δ AB, Δ BC, Δ CA ;
  3. les rotations d'angle 2π/3, 4π/3, et de centre G.

On peut composer ces transformations. En obtient-on d'autres ?

 
  id   r 2π/3   r 4π/3   s Δ AB   s Δ BC   s Δ CA

id 
           
r 2π/3            
r 4π/3            
s Δ AB            
s Δ BC            
s Δ CA            

L'ensemble {id,r 2π/3,r 4π/3,s Δ AB,s Δ BC,s Δ CA} est un groupe. On peut faire quelques remarques sur le tableau une fois rempli : que remarquez-vous sur chaque ligne ou sur chaque colonne ?  
Comment chacune des ces transformations permutent-elles les sommets A, B, C ?

 
 A  B  C

id 
     
r 2π/3      
r 4π/3      
s Δ AB      
s Δ BC      
s Δ CA      
Vérifier qu'on définit ainsi une application du groupe de symétrie du triangle dans le groupe des permutations des trois sommets A, B et C.

Exercice [Autres figures]

I-2-5 Groupe de symétrie : définition

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-5 Groupe de symétrie : définition

Définition

Soient F un ensemble de points dans le plan. L'ensemble des isométries conservant F est un groupe et est appelé groupe de symétrie de F ou groupe d'isométries. On le note ici Is(F). Si ce groupe est fini, on appelle ordre le nombre de ses éléments.

Exercice

Dessiner une figure ayant la symétrie du rectangle, du triangle équilatéral (et qui n'en soit pas un), c'est-à-dire telle que son groupe de symétrie soit celui du rectangle ou du triangle équilatéral.

 

Exercice

Trouver le groupe de symétrie des lettres de l'alphabet et écrire son ordre dans le tableau (on ne tiendra pas compte des grosseurs de trait légèrement différentes ...).

  B   C   D   E   F   G   H   I   J   K   L   M

 
                       

  O   P   Q   R   S   T   U   V   W   X   Y   Z

 
                       

I-3 Rappels : Le plan complexe

Géométrie du planI De la géométrie aux groupes → I-3 Rappels : Le plan complexe
Donnons quelques rappels sur le plan complexe et les isométries dans le plan complexe.
  • Un nombre complexe s'écrit z=x+iyx et y sont des réels : x est la partie réelle de z, y est la partie imaginaire de z.
  • Le conjugué z¯ de z=x+iy est xiy.
  • Le module z de z est zz¯=x 2+y 2.
  • Tout nombre complexe de module 1 s'écrit cosθ+isinθ avec θ unique modulo 2π : c'est l'argument de z (on peut par exemple prendre theta entre 0 et 2π). On pose e iθ=cosθ+isinθ.
  • Tout nombre complexe x+iy non nul s'écrit de manière unique z=re iθ avec r>0 et theta l'argument de z. On représente un point du plan par son affixe : (x,y)z=x+iy

I-3-1 Quelques similitudes

I-3-2 Exercices

I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

I-3-1 Quelques similitudes

Soient z A, θ, b, λ *.
  • L'application ,zz A+e iθ(zz A) est une rotation de centre z A (ou A) et d'angle theta :
    zz A=e iθ(zz A)
  • L'application ,zz+b est une translation :
    z=z+b
  • L'application ,zλ(zz A)+z A est une homothétie de centre z A (ou A) et de rapport lambda :
    zz A=λ(zz A)

Représenter chacune de ces transformations.

I-3-2 Exercices


Exercice

Calculer le composé de deux transformations décrites précédemment. Donner leur nature. Trouver à partir de ces résultats des groupes (pour la loi de composition des transformations).
On dit qu'une transformation f conserve les angles si pour tous points A, B, C, les angles de droite (AB,AC)^ et (f(A)f(B),f(A)f(C))^ sont égaux.

Exercice

Soit l'application ,zaz+b avec a et b des complexes. A quelle condition cette transformation est-elle une isométrie, c'est-à-dire conserve-t-elle les distances ? Conserve-t-elle les angles ? Discuter suivant a et b et déterminer sa nature géométrique.

Exercice

Soit l'application ,zaz¯+b avec a et b des complexes. A quelle condition cette transformation est-elle une isométrie, c'est-à-dire conserve-t-elle les distances ? Conserve-t-elle les angles ? Représenter le cas particulier s:zz¯. A quoi correspond la transformation ze iθz¯ ?

Une similitude conserve les rapports de distance : il existe une constante k telle que
f(A)f(B)=kAB.

Exercice

En plaçant bien un triangle équilatéral dans le plan complexe (par exemple, son centre de gravité en 0 et un de ses sommets en 1), expliciter les similitudes complexes qui le laissent invariant.

Exercice

  • Triangle équilatéral
  • Tir de rotation
  • Billard circulaire (1 rebond)
  • Billard circulaire (2 rebonds)
  • Billard elliptique
  • Triangles, rectangles et similitudes
  • Composition de similitudes
  • Figures et similitudes
  • Nature des transformations z -> az+b

Exercice

Composés de symétries centrales

I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-3 Rappels : Le plan complexe → I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

Pour trouver la nature géométrique d'une application du plan complexe de la forme
f:;zaz+b
a et b sont des complexes et pour trouver ses éléments caractéristiques :
  • Si a=1, f(z)=z+b : il s'agit d'une translation de vecteur représenté par b.
  • Si a1, l'équation z=az+b en z a une solution b1a et la transformation f a donc un point fixe A d'affixe z A=b1a. On peut alors écrire
    f(z)z A=a(zz A).
    • Si a est réel, f est une homothétie de rapport a et de centre A.
    • Si a est un nombre complexe de module 1 et d'argument theta modulo 2π, f est une rotation d'angle theta et de centre A.
    • Si a est un complexe de module r et d'argument theta modulo 2π, f est une similitude d'angle theta, de centre A et de rapport r. Dans ce cas, f est le composé d'une homothétie et d'une rotation.

II Géométrie du plan

Géométrie du plan → II Géométrie du plan

II-1 Le plan vectoriel

Géométrie du planII Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel

II-1-1 Définitions et propriétés

Géométrie du planII Géométrie du planII-1 Le plan vectoriel → II-1-1 Définitions et propriétés

Proposition

L'addition dans le plan vectoriel est une loi de groupe commutatif : pour tous vecteurs u, v et w du plan,
  1. (associativité) (u+v)+w=u+(v+w) ;
  2. (élément neutre) u+0=u ;
  3. (opposé) u+(u)=0 ;
  4. (commutativité) u+v=v+u.

La multiplication d'un vecteur par un réel est compatible avec l'addition : pour tous vecteurs u et v du plan et tous réels a et b,
  1. a(bu)=(ab)u ;
  2. (distributivité) (a+b)u=au+bu ;
  3. (distributivité) a(u+v)=au+av ;
  4. (élément absorbant) a0=0u=0 ;
  5. 1u=u

II-1-2 Droites

Définition

Une droite vectorielle est une partie D du plan formée des multiples λu, λ d'un vecteur non nul u. On dit que u est une base de D. Tout autre vecteur non nul appartenant à D en est une base.

Si v=(a,b), alors D={(x,y) 2bxay=0}. On dit que bxay=0 est une équation de la droite D. Si a0, on peut mettre cette équation sous la forme
ybax=0 ou encore y=bax.
Le nombre ba est la pente (coefficient directeur) de la droite. Le vecteur nul appartient à toutes les droites vectorielles.

II-1-3 Indépendance et colinéarité

Géométrie du planII Géométrie du planII-1 Le plan vectoriel → II-1-3 Indépendance et colinéarité

Définition

Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe deux réels lambda et mu tels que (λ,μ)(0,0) et tels que λu+μv=0.

Pour que deux vecteurs soient colinéaires, il faut et il suffit qu'ils appartiennent à la même droite.

Définition

Deux vecteurs u et v sont linéairement indépendants s'ils ne sont pas colinéaires.

Proposition

Soient deux vecteurs v 1=(a 1,b 1) et v 2=(a 2,b 2). Les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. v 1 et v 2 sont linéairement indépendants ;
  2. a 1b 2a 2b 10 ;
  3. tout vecteur v s'écrit de manière unique v=x 1v 1+x 2v 2 avec x 1 et x 2 dans .
Trouver x 1 et x 2 revient à résoudre un système linéaire.
 

II-1-4 Bases

Définition

Une base de 2 est un couple (e,f) de vecteurs linéairement indépendants. Si v est un vecteur, les réels a et b tels que
v=ae+bf
sont appelés les coordonnées/composantes de v dans la base (e,f).

Par exemple, les composantes de v=(x,y) dans la base (i,j) sont x et y.
Soient (p,q) et (r,s) les composantes de i et j dans la base (e,f). Alors, les composantes du vecteur u=(x,y) dans la base (e,f) sont (X,Y)=(px+ry,qx+sy), c'est-à-dire sous forme matricielle et en colonne :
(X Y)=(p r q s)(x y)=(px+ry qx+sy)

 

Proposition

Soient (e,f) une base du plan vectoriel, u et v deux vecteurs de composantes respectives (X u,Y u) et (X v,Y v) dans la base (e,f).
  1. Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si X uY vX vY u=0.
  2. L'ensemble des vecteurs dont les composantes (X,Y) dans la base (e,f) vérifient aX+bY=0 est une droite vectorielle.
 

Exercice

Changement de base

Exercice

Soit m un nombre réel. On considère les vecteurs e=(1,m+1) et f=(m,6).
  1. A quelle condition sur m le couple (e,f) est-il une base du plan vectoriel ?
  2. Donner les coordonnées (X,Y) du vecteur u dans la base (e,f) en fonction des coordonnées (x,y) dans la base usuelle.

Exercice

  • Trouver l'intersection de 2 droites
  • Trouver l'intersection de 2 droites II
  • Trouver l'intersection de 2 droites II
  • Fonctions linéaires/affines et droites
  • Projections
  • Tir aux vecteurs

II-2 Le plan affine

Géométrie du planII Géométrie du plan → II-2 Le plan affine

II-2-1 Translations

Définition

Soit v=(a,b) un vecteur. On appelle translation de vecteur v l'application de P dans P :
P=(x,y)P+v=(a+x,b+y).
On la note t v.

Remarquons qu'on vient de définir la notation P+vP est un point et v un vecteur.


Proposition

  1. t v est une bijection de P dans P ;
  2. t vt w=t v+w ;
  3. t vt v=t 0=id.
L'ensemble des translations du plan P muni de la composition des applications est un groupe commutatif.
 

Proposition

  1. Pour tout bipoint AB, il existe un unique vecteur v tel que t v(A)=B. On le note aussi AB. On a donc la relation
    B=A+AB.
  2. {Relation de Chasles} Pour tous points A, B, C de P, on a la relation
    AB+BC=AC
  3. Pour tout point A du plan et tout vecteur u, il existe un unique point B tel que AB=u.

La troisième affirmation est la bijectivité de la translation t v.

II-2-2 Repères du plan

Définition

Un repère (affine) du plan est un triplet (A,e,f) formé d'un point du plan affine P et de deux vecteurs (e,f) formant une base du plan vectoriel. Les coordonnées de M dans le repère (A,e,f) sont les composantes du vecteur AM dans la base (e,f).
Ainsi, tout point M de P s'écrit de manière unique A+Xe+Yf et (X,Y) sont les coordonnées de M dans le repère affine (A,e,f).

Exemple

Soit A=(2,1), e=(1,2), f=(1,1). Écrire les coordonnées du point M(x,y) dans le repère (A,e,f).  

Exercice

Changement de repère

II-2-3 Droites affines

Définition

Une droite affine D est une partie du plan affine telle que pour tout AD, l'ensemble des vecteurs AM pour MD soit une droite vectorielle.
Ce qu'on peut dire d'autres manières :
  1. D={A+λu,λ} ;
  2. D est le translaté par le vecteur OA d'une droite vectorielle D 0 de base u ; la droite D 0 est appelée direction de D. La direction D 0 de D est aussi l'ensemble des vecteurs PQ pour P et Q des points de D. Un vecteur directeur de D est une base de la direction D 0 de D.

Définition

Trois points A, B et C du plan affine P sont alignés s'ils appartiennent à une même droite, c'est-à-dire si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

L'ensemble des points alignés avec deux points distincts du plan forme une droite. C'est la droite passant par ces deux points. Toute droite affine D est aussi l'ensemble des points M=(x,y) vérifiant une équation ax+by+c=0. Sa direction est d'équation ax+by=0.

Remarque

On a donc plusieurs manières de se donner une droite et de la représenter. Il est important de savoir passer d'une "représentation à l'autre" et de savoir utiliser la plus adéquate pour résoudre des problèmes. Ainsi, pour se donner une droite, on peut
  1. se donner un point A et un vecteur v non nul ;
  2. se donner deux points distincts A et B ;
  3. écrire l'ensemble des points de la droite comme les points M tels que AM soit colinéaire à v pour un point A et un vecteur v non nul :
    {M 2 tel qu'il existe tAM=tv}
  4. écrire l'ensemble des points de la droite comme les points M barycentres de deux points A et B distincts :
    {M 2 tel qu'il existe tOM=(1t)OA+tOB}
  5. écrire l'ensemble des coordonnées des points de la droite :
    {(x,y) 2 tel qu'il existe t{x = a+tu 1 y = b+tu 2}
  6. donner une relation entre les coordonnées (x,y) vérifiées par les coordonnées des points de la droite et uniquement par eux. Les vecteurs v et AB sont des vecteurs directeurs. Le coefficient directeur (pente) de la droite affine est la pente de sa direction. C'est donc ba si v=(a,b) avec v non nul et infty si v=(a,0).

Exercice

Donner plusieurs manières de représenter la droite passant par les deux points (1,2) et (3,1).

 

II-2-4 Incidence

Définition

Deux droites affines sont parallèles si elles ont même direction.

Proposition


  1. Pour que deux droites D 1 et D 2 soient parallèles, il faut et il suffit qu'il existe une translation T telle que T(D 1)=D 2.
  2. Si D est une droite affine et P un point du plan, il existe une unique droite affine D parallèle à D et passant par P (c'est-à-dire telle que PD) : D est l'image de la direction D 0 de D par la translation de vecteur OP. Si A est un point de D, c'est aussi l'image de D par la translation de vecteur AP.

Définition

Deux droites affines sont sécantes si elles se coupent en un unique point.

Proposition

Deux droites parallèles D et D sont soit disjointes ( DD=), soit confondues ( D=D).

Proposition

Deux droites sont soit parallèles, soit sécantes ( DD={A} avec A un point du plan).

Corollaire

Deux droites D d'équation ax+by+c=0 et D d'équation ax+by+c=0 sont parallèles si abab=0. Elles sont sécantes si et seulement si abab0.

Exercice

  1. Parmi les points suivants, lesquels sont alignés ? A=(1,2), B=(295,317), C=(2,52), D=(1,2), E=(12+1,3+2)
  2. Déterminer l'intersection de (AB) et de (CD).

Exercice

  1. Parmi les droites suivantes, déterminer lesquelles sont parallèles, lesquelles sont concourantes et leurs points d'intersection :
    D 1:3x2y+1=0, D 2:y=4x7, D 3:{x = 4t+4 y = 6t+3,t, D 4:5x+y=20, D 5:2x+741=0
  2. Donner l'équation générale des droites passant par A=(3,5).
  3. Déterminer l'équation de la parallèle à D 2 passant par B=(1,0).

Exercice

Soit lambda un réel non nul.
  1. Donner l'équation de la droite D λ passant par les points A λ=(1/λ,0) et B λ=(0,λ).
  2. Soit M=(x,y) un point du plan. Donner tous les lambda tels que M appartient à D λ.
  3. Décrire λ *D λ.

Exercice

On considère les points A=(0,1), B=(2,2), C=(1,3).
  1. Donner les coordonnées des points D=(3,1) et E=(1,3) dans le repère (A,AB,AC).
  2. Donner une équation dans le repère usuel de la droite Delta d'équation X2Y+5=0 dans le repère (A,AB,AC).

Exercice

Reconnaître rapidement des droites parallèles ou perpendiculaires

II-2-5 Barycentres de points

Géométrie du planII Géométrie du planII-2 Le plan affine → II-2-5 Barycentres de points

Définition

Soient n un entier, A 1, ..., A n n points et a 1, ... , a n des réels tels que a 1+...+a n0. Le barycentre des points pondérés (A 1,a 1), ..., (A n,a n) est l'unique point G du plan tel que
a 1GA 1+...+a nGA n=0.
Si A est un point du plan, il vérifie :
G=A+1a 1+...+a n(a 1AA 1+...+a nAA n)
Les coordonnées du barycentre G s'expriment (avec des notations évidentes)
{x G = a 1x 1+...+a nx na 1+...+a n y G = a 1y 1+...+a ny na 1+...+a n

Le milieu du segment [AB] est l'unique point I tel que AI=12AB. Les coordonnées de A, B et I vérifient
x I=12(x A+x B),y I=12(y A+y B).

Proposition

Si A et B sont deux points distincts, la droite (AB) est l'ensemble des barycentres de A et B.

Exercice

Décrire l'ensemble des points du segment [AB].

 

Proposition [Associativité du barycentre]

Si a 1+a 20 et si A est le barycentre de (A 1,a 1), (A 2,a 2), le barycentre de (A 1,a 1), (A 2,a 2), (A 3,a 3), ..., (A n,a n) est égal au barycentre de (A 1,a 1+a 2), (A 3,a 3), ..., (A n,a n) s'ils existent.

Quand les poids a 1, ..., a n sont tous égaux, on appelle le barycentre l'isobarycentre ou centre de gravité.
Exemple [ Barycentre de deux points ]

Exercice

Placer le barycentre de points

II-2-6 Polygones

Définition

Un triangle est un triplet T=(A,B,C) de points. Si les points A, B, C sont alignés ou confondus, on dit que T est dégénéré.
Supposons T non dégénéré. Les points A, B, C sont les sommets, les droites (AB), (BC), (CD) sont les côtés. Le côté (BC) est opposé à A. Soient P, Q et R les milieux respectifs des côtés opposés à A, B et C. Les droites (AP), (BQ), (CR) sont les médianes du triangle. Elles passent par le centre de gravité G de T.

Définition

Un parallélogramme est un quadruplet (A,B,C,D) de points du plan tel que AB=DC, ou ce qui revient au même AC=BD.
Pour qu'un quadruplet (quadrilatère) soit un parallèlogramme, il faut et il suffit que les segments [AD] et [BC] aient même milieu.

Définition

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs (une fois normalisé pour que la somme des poids soit positive). Le segment [AB] est l'enveloppe convexe de A et B.

Définition

Une partie C du plan est convexe si pour tous points A et B de C, le segment [AB] est contenu dans C.

Proposition

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est le plus petit convexe contenant ses points.
 

II-2-7 Exercices

Exercice

Tracer les trois droites d'équation 2x+y=1, 2x+y=1, y=3. Caractériser chacune des régions déterminées par ces droites à l'aide de leurs équations.

Exercice

Soient A, B et C trois points du plan et a, b, c trois réels non nuls tels que les barycentres suivants existent :
G:(A,a),(B,b),(C,c),
G 1:(A,a),(B,b),(C,c),
G 2:(A,a),(B,b),(C,c),
G 3:(A,a),(B,b),(C,c).
  1. Montrer que (AG 1), (BG 2), (CG 3) sont concourantes en G.
  2. Montrer que (G 2G 3), (G 3G 1) et (G 1G 2) passent respectivement par A, B et C.

Solution
  1. Montrons que G est sur la droite (AG 1). Par associativité du barycentre, G est le barycentre de (A,2a), (A,a), (B,b), (C,c) et donc de (A,2a), (G 1,a+b+c). Donc G est sur la droite (AG 1. De même pour les autres.
  2. Soit T le barycentre de (B,b) et (C,c). Alors, G 2 est le barycentre de (A,a) et de (T,b+c), G 3 est le barycentre de (A,a) et de (T,bc). Donc A, G 2 et G 3 sont alignés.

Exercice

Tracer un triangle non dégénéré et les droites prolongeant les côtés du triangle. Caractériser chacune des sept régions obtenus en termes de barycentres des trois sommets du triangle. (On peut commencer par les régions déterminées par une droite.)

Exercice

Régions

Exercice

  • Barycentre de trois points
  • Barycentre et côtés d'un triangle
  • Barycentre : lequel ?

Exercice

  • Tir de gravité I
  • Tir de gravité II
  • Tir de gravité III
  • Coordonnées barycentriques
  • Zones barycentriques
  • Associativité du barycentre

II-3 Le plan affine avancé

Géométrie du planII Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé

II-3-1 Théorème de Thalès

Théorème [Thalès]

Soient A, B, C trois points alignés et B, C deux points alignés avec A tels que AB et AB ne soient pas colinéaires. Alors :
(λ)(AC=λABetAC=λABCC=λBB)


 

Proposition [Conséquence]

Soient A, B et C trois points distincts du plan non alignés. Soient C et B les milieux respectifs de [AB] et de [AC]. Alors, les droites (BC) et (BC) sont parallèles.

Il y a de nombreuses autres formulations du théorème de Thalès, par exemple :

Proposition

Soient A, B, C trois points alignés et B, C deux points alignés avec A tels que A, B, B ne soient pas alignés. Alors, si C est le barycentre de (A,a) et (B,b), C est le barycentre de (A,a) et (B,b) si et seulement si les droites BB et CC sont parallèles.

II-3-2 Théorème de Ceva


Théorème [Ceva]

Soit un triangle (ABC) et A, B et C des points situés respectivement sur les côtés opposés à A, B et C. Les droites (AA), (BB) et (CC) sont concourantes si et seulement si
BA¯AC¯×CB¯BA¯×AC¯CB¯=1.


 
Démonstration

Exemple

Soient A et B deux points. Si C est barycentre de (A,a) et de (B,b), ACCB est égal à ba. Cela fait un pont entre les barycentres et le théorème de Ceva.

Exercice

Barycentre et théorème de Ceva

Théorème [Médianes]

  • Les médianes d'un triangle sont concourantes.
  • Les médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles d'aires égales.
  • Les hauteurs d'un triangle sont concourantes.



 

II-3-3 Théorème de Ménélaüs

Géométrie du planII Géométrie du planII-3 Le plan affine avancé → II-3-3 Théorème de Ménélaüs

Théorème [Ménélaüs]

Soit un triangle (ABC) et A, B et C des points situés respectivement sur les droites (BC), (CA) et (AB). Les points A, B et C sont alignés si et seulement si
BA¯AC¯×CB¯BA¯×AC¯CB¯=1.


II-3-4 Birapport




Rappelons que si A, B sont deux points distincts, le rapport CA¯CB¯ détermine la position d'un point C de la droite (AB) par rapport à A et B.

Définition

Le birapport de quatre points alignés A, B, C, D est le nombre [[A,B,C,D]] égal au rapport de CA¯CB¯ et de DA¯DB¯ :
[[A,B,C,D]]=CA¯CB¯/DA¯DB¯
=CA¯CB¯×DB¯DA¯

Théorème

Soit r le birapport des quatre points alignés A, B, C, D et O un point distinct et non aligné avec les quatre points. Alors
r=S(OCA)S(OCB)/S(ODA)S(ODB)
r=sinCOA^sinCOB^/sinDOA^sinDOB^

birapport


Démonstration
On note Delta la droite sur laquelle se trouve les points A, B, C, D. Soit H le projeté orthognal de O sur la droite Delta.
L'aire du triangle OCA est égale à 12CA×OH.
L'aire du triangle OCB est égale à 12CB×OH.
L'aire du triangle ODA est égale à 12DA×OH.
L'aire du triangle ODB est égale à 12DB×OH.
Ce qui montre facilement la première formule.
Pour la deuxième formule. on calcule l'aire des triangles précédents en choisissant une autre base :
S(OCA)=12OCsin(COA^)
etc, ce qui permet de démontrer la formule au signe près.
Regardons maintenant le signe.
Le point O est d'un côté de la droite ! On choisit une orientation pour tourner autour du point O (le résultat ne dépend pas du choix car il y a 4 termes). Cela donne une orientation de la droite Delta pour laquelle le sinus de MOM^ est positif si et seulement si MM¯ est positif pour deux points M et M de la droite Delta.

birapport


Corollaire

Le nombre
[[A,B,C,D]]
ne dépend que des droites OA, OB, OC et OD et non de la sécante :